Criptografía (CCXCIII): Multiplicación escalar en una curva elíptica sobre un cuerpo finito ℤp en python

En el post anterior puse un script en python para implementar la suma de dos puntos de una curva elíptica definida sobre un cuerpo finito ℤ_p, y en éste incluyo uno que implementa la multiplicación escalar de un punto de una curva elíptica definida sobre el mismo tipo de cuerpo; la operación que constituye la base de la Criptografía de Curva Elíptica (ECC).

El pseudocódigo para implementar la multiplicación escalar es:

- Script python para implementar la multiplicación escalar de un punto de una curva elíptica definida sobre un cuerpo finito ℤ_p:

El script es el siguiente:

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-

# MULTIPLICACIÓN DE UN PUNTO DE UNA CURVA ELÍPTICA (CE) POR UN ESCALAR:
#
# http://mikelgarcialarragan.blogspot.com/

import sympy

def suma_puntos(p,a,x1,y1,x2,y2):
    if x1 == -1 and y1 == -1:
        x3, y3 = x2, y2
        return x3, y3

    if x2 == -1 and y2 == -1:
        x3, y3 = x1, y1
        return x3, y3

    if x1 == x2 and y1 == y2:
        if y1 == 0:
            x3, y3 = -1, -1
            return x3, y3
        else:
            m = (3*pow(x1,2)+a)*pow(2*y1,-1,p)
    else:
        if  x1 == x2:
            x3, y3 = -1, -1
            return x3, y3
        else:
            m = (y2-y1)*pow(x2-x1,-1,p)

    x3 = (pow(m,2)-x1-x2)%p
    y3 = (m*(x1-x3)-y1)%p
    return x3, y3

def main():
# MENÚ:
# Se presenta el menú para que se seleccione una opción.
    salir = False
    while not salir:
        print ("")
        print ("*** MENÚ *****************************************")
        print ("1. Multiplicación de un punto de una Curva Elíptica por un escalar.")
        print ("2. Salir.")
        print ("")
        opcion = input("Por favor, seleccione una opción: ")
        if opcion == "1":
            print ("")
            print ("--- MULTIPLICACIÓN DE UN PUNTO DE UNA CURVA ELÍPTICA POR UN ESCALAR:")
            # Se introducen:
            # p = número primo que caracteriza al cuerpo finito.
            # a = coeficiente 'a' de la curva elíptica.
            # b = coeficiente 'b' de la curva elíptica.
            # k = escalar por el que se va a multiplicar el punto de la curva.
            # x1, y1 = coordenadas del punto que se va a multiplicar por el escalar.
            primo = a_entero = b_entero = k_ok = p_ok = p_si_no_inf = False
            while not primo:
                p = input("Introduzca el número primo que caracteriza al cuerpo finito: ")
                if p.isnumeric() and sympy.isprime(int(p)):
                    primo = True
                    while not a_entero:
                        a = input("Introduzca el coeficiente 'a' de la curva elíptica: ")
                        try:
                            int(a)
                            a_entero = True
                            while not b_entero:
                                b = input("Introduzca el coeficiente 'b' de la curva elíptica: ")
                                try:
                                    int(b)
                                    b_entero = True
                                    while not k_ok:
                                        k = input("Introduzca el escalar 'k' por el que se va a multiplicar el punto 'P' de la curva elíptica: ")
                                        if k.isnumeric():
                                            k_ok = True
                                            while not p_si_no_inf:
                                                p_sn_inf = input("¿Es el punto ('P') a multiplicar por el escalar el punto en el infinito (s/n)?: ")
                                                if p_sn_inf == "s" or p_sn_inf == "S" or p_sn_inf == "n" or p_sn_inf == "N":
                                                    p_si_no_inf = True
                                                    if p_sn_inf == "s" or p_sn_inf == "S":
                                                        x1, y1 = -1, -1
                                                    elif p_sn_inf == "n" or p_sn_inf == "N":
                                                        while not p_ok:
                                                            x1 = input("Introduzca x1: ")
                                                            if not x1.isnumeric():
                                                                print ("*** ERROR: Valor x1 incorrecto.")
                                                            else:
                                                                y1 = input("Introduzca y1: ")
                                                                if not y1.isnumeric():
                                                                    print ("*** ERROR: Valor y1 incorrecto.")
                                                                else:
                                                                    if pow(int(y1),2,int(p)) == (pow(int(x1),3,int(p)) + int(x1)*int(a) + int(b))%int(p):
                                                                        p_ok = True
                                                                    else:
                                                                        print ("*** ERROR: El punto 'P' introducido no es un punto de la curva.")
                                                    if (x1 == -1  and y1 == -1) or int(k) == 0:
                                                        print ("[+] El punto resultado es el punto en el infinito (𝒪).")
                                                    else:
                                                        xs, ys, xc, yc = -1, -1, x1, y1
                                                        while int(k) != 1:
                                                            r, k = int(k)%2, int(k)//2
                                                            if r == 1:
                                                                xs, ys = suma_puntos(int(p),int(a),int(xs),int(ys),int(xc),int(yc))
                                                            xc, yc = suma_puntos(int(p),int(a),int(xc),int(yc),int(xc),int(yc))
                                                        x2, y2 = suma_puntos(int(p),int(a),int(xs),int(ys),int(xc),int(yc))
                                                        if x2 == -1 and y2 == -1:
                                                            print ("[+] El punto resultado es el punto en el infinito (𝒪).")
                                                        else:
                                                            print ("[+] Q = k * P = (x2, y2) = (", x2, ",", y2, ")")
                                                else:
                                                    print ("*** ERROR: Introduzca 's', 'S', 'n' o 'N'.")
                                        else:
                                            print ("*** ERROR: Valor del escalar 'k' incorrecto.")
                                except ValueError:
                                    print ("*** ERROR: Coeficiente 'b' de la curva elíptica incorrecto.")
                        except ValueError:
                            print ("*** ERROR: Coeficiente 'a' de la curva elíptica incorrecto.")
                else:
                    print ("*** ERROR: Número primo que caracteriza al cuerpo finito incorrecto.")
        elif opcion == "2":
            print ("*** FIN ******************************************")
            salir = True
        else:
            print ("*** ERROR: Opción no válida.")
	
if __name__ == '__main__':
    main()

Lo ejecuto:

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